5面ダイスを5個、6面ダイスを6個、7面ダイスを7個、8面ダイスを8個、9面ダイスを9個振ったとき、出目の合計が7の倍数になる確率を求めよ

Claude Opus 4.7

Answer: 求める確率は 1/7 である。

各ダイスは公平で、5面ダイスは1〜5、6面は1〜6、7面は1〜7、8面は1〜8、9面は1〜9の目が等確率で出るとします。 ここで鍵となるのは、振るダイスの中に「7面ダイス」が含まれていることです。7面ダイスの目は1,2,3,4,5,6,7で、これを7で割った余り(mod 7)は 1,2,3,4,5,6,0 となり、0〜6が各確率1/7で一様に分布します。 他のすべてのダイスの出目の合計を S' とすると、最終的な合計 S は S = S' + (7面ダイスの目) です。S が7の倍数になるのは S ≡ 0 (mod 7)、すなわち(7面ダイスの目) ≡ -S' (mod 7) となる場合です。 S' の値が何であっても、7面ダイスの目の mod 7 は0〜6の一様分布なので、特定の剰余になる確率はちょうど 1/7 です。よって他のダイス(5個の5面、6個の6面、7個以外の7面、8個の8面、9個の9面)の出目分布に依存せず、答えは 1/7。 (注:問題文の「7面ダイスを7個」のうち少なくとも1個があれば、その1個の mod 7 が一様であることから同じ議論で 1/7 となります。)

GPT-5.4

Answer: 各場合とも、出目の合計が7の倍数になる確率はすべてちょうど 1/7 です。

この問題の本質は、合計を 7 で割った余りが 0 になる確率を調べることです。5面ダイスを5個、6面ダイスを6個、7面ダイスを7個、8面ダイスを8個、9面ダイスを9個振るので、一般に「n面ダイスをn個振る」と考えて、n=5,6,7,8,9 の各場合を見れば十分です。 ここで各ダイスの出目を 1,2,...,n とすると、全出目の総和 S の 7 に関する分布を考えます。重要なのは、全ての出方に対して各ダイスの目を一斉に 1 ずつ増やす操作です。ただし n の次は 1 に戻る、つまり 1→2→3→…→n→1 という巡回置換を行います。 この操作を1回行うと、各ダイスの値は見かけ上ほぼ 1 増えますが、和を 7 で見たときの変化はきれいに扱えます。n個のダイスすべてに同じ巡回置換を施すと、各出方は別の出方と1対1に対応し、全体の標本空間をちょうど巡回させます。そしてダイスが n 個あるので、総和は 7 を法として n だけずれます。 したがって、和の余りは S, S+n, S+2n, ... と順に移っていきます。ここで n=5,6,8,9 のときは 7 と互いに素なので、この操作を繰り返すと 7 個の余り類 0,1,2,3,4,5,6 をすべて同じ回数ずつ巡回します。よって、各余りは等確率であり、特に 0 になる確率は 1/7 です。 残る n=7 の場合も、むしろもっと簡単です。7面ダイス1個は、出目 1,2,3,4,5,6,7 を 7 で見れば余り 1,2,3,4,5,6,0 をそれぞれ等確率 1/7 で取ります。つまり各ダイスは 7 を法として一様分布です。一様分布の独立な和もやはり一様分布なので、7個の和の余りも 0,1,2,3,4,5,6 に一様に分布します。したがってこの場合も確率は 1/7 です。 以上より、5面5個、6面6個、7面7個、8面8個、9面9個のすべての場合で、出目の合計が7の倍数になる確率は等しく 1/7 です。

Gemini 3.1 Pro

Answer: 出目の合計が7の倍数になる確率は 1/7 です。

この問題を解くための重要な鍵は、「7面ダイスが含まれていること」です。 7面ダイスの出目は1から7まであり、それぞれの目が出る確率は等しく1/7です。これを7で割った余りに注目すると、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 のすべてが等確率（1/7）で出現することになります。 数学の性質として、任意に分布する整数（他のすべてのダイスの合計値）に対して、ある数（ここでは7）を法として一様分布する独立な整数（1個の7面ダイスの出目）を足し合わせると、その合計値もまた同じ法に関して一様分布になります。 つまり、1個の7面ダイス以外のすべてのダイス（5面、6面、8面、9面ダイスすべてと、残り6個の7面ダイス）を振ってどのような合計値が出ようとも、最後に振る1個の7面ダイスの出目が加わることで、最終的な合計値を7で割った余りは0から6まで完全に等確率（それぞれ1/7）になるように調整されます。 したがって、他のダイスの個数や種類に一切関係なく、出目の合計が7の倍数（余りが0）になる確率は正確に 1/7 となります。

Grok 4.20

Answer: 出目の合計が7の倍数になる確率は1/7である。

7面ダイスは出目が1から7であり、これを7で割った余りは0,1,2,3,4,5,6をそれぞれちょうど1回ずつ含むため、 modulo 7 で完全に一様な分布を持つ。 このようなダイスを1個以上振る場合、他のすべてのダイスの合計がどのような分布であっても、全体の合計の7を法とした値は一様に分布する。 ここでは7個の7面ダイスを含むため、合計が7の倍数になる確率は厳密に1/7となる。 この結果は根の統一フィルターを用いた計算でも確認でき、非自明な7乗根において7面ダイスの期待値が0となるため積全体が0になり、平均として1/7が得られる。

Final Summary

AI Roundtableは、合計が7の倍数になる確率は正確に1/7であると結論付けました。Claude Opus 4.7やGemini 3.1 Proは、7面ダイスが1つでもあれば7を法とする一様分布が保証されることを指摘し、GPT-5.4は置換群を用いたより広範な証明を提示しました。

4つのモデルすべてが一致