5面ダイスを5個、6面ダイスを6個、7面ダイスを7個、8面ダイスを8個、9面ダイスを9個振ったとき、出目の合計が35の倍数になる確率は？

Sonar Pro (changed mind)

Vote: 35分の1ぴったり

Round 1では期待値が20で35より小さく分布が左に偏るためBかCと投票したが、他のモデルの議論を検討した結果、Aに変更する。 GPT-5.4とClaude Opus 4.7の主張が決定的。中国剰余定理とroot-of-unity filterにより、5,6,7,8,9面ダイスがそれぞれ5,6,7,8,9個で、35=5×7の各素因数に対して生成多項式の評価がゼロになり、mod 35の分布が完全に一様となる。7面ダイス7個はmod 7で一様、5面5個はmod 5でほぼ一様、他の面数は35と互いに素のため全体で一様分布が保証される。 GeminiとGrokの期待値145（誤算、実際は20）、分散157.5の正規近似はダイス数が35個でも厳密計算で無効。Fourier解析の第1項cos(2π/7)>0も一様性を崩さない。 総ダイス数35個、独立同分布でないがmod 35で一様のため、P(S≡0 mod 35)=1/35ぴったり。Aが正解。

GPT-5.4

Vote: 35分の1ぴったり

私は引き続きAに投票します。 他モデルのC/B側の議論は、平均145や正規近似から「140が平均に近いので有利」と見るものですが、問われているのは単一値 P(S=140) ではなく、剰余類全体での P(S≡0 mod 35) です。平均がどこにあるかだけでは、mod 35 の各剰余の確率比較は決まりません。 決定的なのは mod 5 と mod 7 の一様性です。7面ダイス1個は出目 mod 7 が {1,2,3,4,5,6,0} を完全一様に取ります。したがって、他の34個の和をどう固定しても、総和 mod 7 はその1個を足すことで完全一様です。同様に、5面ダイス1個により総和 mod 5 も完全一様です。 さらにその5面ダイスと7面ダイスは独立で、残りのダイスとも独立です。ゆえに総和の (mod 5, mod 7) は各組に対して確率 1/5 × 1/7 = 1/35。中国剰余定理により、これは総和 mod 35 が完全一様であることと同値です。 したがって 35 の倍数になる確率は厳密に 1/35、選択肢は「35分の1ぴったり」です。 Claude Opus 4.7 の、5面ダイス1個で mod 5、7面ダイス1個で mod 7 を一様化し、中国剰余定理で結ぶ議論が最も明快でした。私の票自体は変わっていませんが、最終ラウンドでの主張としてはこの説明が最も説得的です。

Claude Opus 4.7

Vote: 35分の1ぴったり

他のモデルの議論を検討しましたが、私の立場を維持します。 Grok 4.20とGemini 3.1 Proは「期待値や分散から分布が一様でない」と主張していますが、これは根本的な誤りです。mod 35での一様分布は、CLT(中心極限定理)による連続近似の問題ではなく、**生成関数のroot-of-unity filter**によって厳密に決まります。 重要な点:7面ダイスが7個あるので、7面ダイス1個の出目の生成関数 f(x)=x+x²+...+x⁷ は、ω=e^(2πi·k/7)(k≠0)を代入すると**厳密にゼロ**になります(等比数列の和)。つまり、他の全てのダイスの寄与を固定しても、7面ダイス群の寄与だけでmod 7の全ての非自明な指標が消滅します。同様に5面ダイス5個によりmod 5の全ての非自明な指標も消滅します。 35=5×7なので、mod 35の非自明な指標は全てmod 5または mod 7の非自明な指標を含み、よって全て消滅。結果、P(S ≡ 0 mod 35) = 1/35 **厳密に**。 Geminiの特性関数の展開でも、実はC_j=0(j=1,...,34の全て)になるので、答えは正確に1/35です。Geminiは振幅C_jを非ゼロと仮定した近似議論をしていますが、代数的構造を見落としています。 GPT-5.4も同じ結論に達しており、これが正解です。

Grok 4.20

Vote: 35分の1より大きい

期待値は145で145 mod 35=5となり、35の倍数140は期待値からわずか5しか離れていない。標準偏差≈12.55は35より十分小さいため、S mod 35の分布は一様ではなく、期待値近くの剰余類の確率が高くなる。 これによりP(S≡0 mod 35)は1/35より大きくなる。中心極限定理と特性関数によるGeminiの解析（第1項のcos(2π/7)>0）がこのバイアスを定量的に裏付けている。 GPTとClaudeの「root-of-unityで全ての非自明項が消える」「CRTで一様」といった主張は不正確。kが35と互いに素な場合、生成関数は0にならず、相関が残るため厳密に1/35ではない。よってCを維持する。

Gemini 3.1 Pro

Vote: 35分の1より大きい

皆さん、私のRound 1の主張およびGrok 4.20の正確な指摘が示す通り、正解は「C: 35分の1より大きい」です。他のモデルの議論には明確な数学的誤りがあり、AやBに投票する根拠としては不十分です。それらが説得力を持たない理由を説明します。 1. **Claude Opus 4.7への反論（独立性の誤認）** 「S mod 5 と S mod 7 が一様だから中国剰余定理で S mod 35 も一様になる」という主張は誤りです。サイコロの合計を S としたとき、S mod 5 と S mod 7 には共に同じサイコロ（6面、8面、9面など）の目が足し合わされているため、両者は独立ではありません。独立性が担保されていない以上、結合分布は一様にならず、35の倍数になる確率は厳密な 1/35 にはなりません。 2. **GPT-5.4への反論（生成関数の評価の誤り）** 「1の35乗根 ω^t で各因子の和が適切に消える」という主張も不正確です。生成関数の特定の項が 0 になるには、ある面数 m について mt が 35 の倍数になる必要があります。しかし、t=1 のとき、m ∈ {5,6,7,8,9} のどれを掛けても 35 の倍数になりません。したがって、t=1 の項（第一高調波）は消滅せず、一様分布にはなりません。 3. **Sonar Proへの指摘** 「合計期待値が 20」としていますが、各ダイスの個数（5個〜9個）を掛け合わせていないため誤りです。正しい期待値は μ = 145 です。 4. **結論（Cである理由）** 期待値は μ = 145 であり、分布のピークはここにあります。35の倍数である 140 はピークからわずか「5」しか離れておらず、次に近い 175 や 105 と比べても圧倒的に確率密度が集中しています。さらに離散フーリエ展開の第1項の符号も cos(2π × 145/35) = cos(2π/7) > 0 となり、平均 1/35 を明確に押し上げます。よって、確率は 1/35 より厳密に大きくなります。

DeepSeek V3.1 (changed mind)

Vote: 35分の1ぴったり

質問は、5面ダイス5個、6面ダイス6個、7面ダイス7個、8面ダイス8個、9面ダイス9個の出目の合計が35の倍数になる確率を尋ねています。数学的な分析により、この合計は modulo 35 で一様分布することが示されます。 まず、5面ダイス5個の合計 S_5 は modulo 5 で一様です。各5面ダイスの出目は 1 から 5 で、modulo 5 では 1,2,3,4,0 とすべての剰余を均等にカバーするため、S_5 は一様です。同様に、7面ダイス7個の合計 S_7 は modulo 7 で一様です。 S_5 が modulo 5 で一様であるため、他のダイスの合計（S_6, S_8, S_9）が何であれ、全体の合計 S mod 5 は一様になります。同樣に、S mod 7 も一様です。5 と 7 は互いに素であるため、中国の剰余定理により、S mod 35 は一様分布します。 したがって、合計が35の倍数になる確率は正確に 1/35 です。オプションCを支持する議論は、期待値の誤計算（Sonar Pro）や中心極限定理に基づく近似に依存しており、離散和の厳密な modulo 性質を考慮していません。生成関数や根の unity を用いた GPT-5.4 と Claude Opus の議論が正しいです。

Final Summary

サイコロの合計値が35の倍数になる確率を巡り、AI Roundtableは数学的厳密性と統計的近似の間で激しく揺れ動きました。Claude Opus 4.7とGPT-5.4は、5面ダイスと7面ダイスが含まれていることに着目し、中国剰余定理と根のフィルタリングを用いて「mod 35で完全な一様分布になる」として選択肢Aを主張。一方でGemini 3.1 ProとGrok 4.20は、中心極限定理に基づき「期待値145に近い140の確率が平均を押し上げる」と選択肢Cを譲らず、理論派と近似派の真っ向勝負となりました。

Majority chose "35分の1ぴったり" after discussion (4/6). Final vote: 35分の1ぴったり: 4, 35分の1より大きい: 2

Strongest Arguments

• 35分の1ぴったり: 5面ダイスがmod 5で、7面ダイスがmod 7でそれぞれ一様分布を形成するため、独立なそれらを組み合わせた合計は中国剰余定理によりmod 35でも厳密に一様分布（1/35）となる。
• 35分の1より大きい: 合計の期待値145が35の倍数である140に非常に近く、標準偏差も小さいため、一様分布からのズレが生じて確率は1/35よりも大きくなるはずである。

Key Turning Points

• Claude Opus 4.7とGPT-5.4が、生成関数の性質から「1つのダイスがmod nで一様なら全体もmod nで一様になる」という強力な数学的根拠を提示しました。
• Sonar Proが第1ラウンドでの計算ミスを認め、Claudeらの代数的アプローチに説得されて選択肢CからAへ転向しました。
• DeepSeek V3.1が議論に参加し、mod 5とmod 7の独立性を強調することで「ぴったり1/35」派の勢力を決定づけました。