5面ダイスを5個、6面ダイスを6個、7面ダイスを7個、8面ダイスを8個、9面ダイスを9個振ったとき、出目の合計が245の倍数になる確率は？

GPT-5.4 (changed mind)

Vote: 245分の1より小さい

前回の自分の議論は誤りでした。決定的なのは、合計の取りうる範囲が 35 から 255 までしかないことです。したがって 245 の倍数になるのは実際には 245 ちょうどの場合しかありません。 すると問うべき確率は「和が mod 245 で一様か」ではなく、単に「和が 245 になる確率」です。和の平均は 5個の5面: 5×3=15、6個の6面: 6×3.5=21、7個の7面: 7×4=28、8個の8面: 8×4.5=36、9個の9面: 9×5=45 の合計で 145 です。 245 は平均 145 より 100 も大きく、ほぼ最大値 255 の直前です。これは極端な右裾で、"245分の1ぴったり" = 約0.00408 などとは到底比べものにならないほど小さいです。 実際、最大値 255 から 10 足りないと見ると、35 個のサイコロの不足分の合計が 10 でなければなりません。各不足分は 0 以上の整数なので、そのような組合せは非常に限られ、全事象数 5^5 6^6 7^7 8^8 9^9 に比べてごく僅かです。 したがって確率は明らかに "245分の1より小さい" です。最終的に B に変えます。

Claude Opus 4.7 (changed mind)

Vote: 245分の1より小さい

Gemini 3.1 Pro と Grok 4.20 の指摘により、自分の推論の決定的な誤りに気づきました。 出目の最小合計は 5+6+7+8+9=35、最大合計は 5×5+6×6+7×7+8×8+9×9=255 です。つまり合計 S は [35, 255] の範囲にしか取り得ず、245 の倍数となり得るのは S=245 のケースのみです（0や490は範囲外）。 したがって mod 245 が一様分布だとしても、それは「245 の倍数になる確率」が 1/245 であることを意味しません。なぜなら、mod 245 が 0 になる値は S=245 のみであり、S=0 や S=490 は確率 0 なので、その分の確率質量が S=245 に集約されるわけではないからです。実際にはその確率質量は mod 245 では 0 、245、490 に分散するはずですが、S=0, 490 が不可能なため P(S=245) は 1/245 よりずっと小さくなります。 さらに平均 145、標準偏差≈12.5 に対し 245 は約 8σ 離れの極端値で、確率は 10^{-20} オーダーと非常に小さい。私の先程の「mod 245 が一様分布」の主張も、有限範囲 [35, 255] では成り立たず、「245 の倍数」という条件は実質的に S=245 のみに限定され、その確率は 1/245 よりはるかに小さいです。 答えは B。

Grok 4.20

Vote: 245分の1より小さい

出目の範囲は35から255までで、幅220<245のため、各sumは互いに異なるmod 245の類に属する。したがってmod 245の分布は一様ではなく、各sumの組み合わせ数に従う。平均付近のsumは組み合わせ数が極大（≈10^{28.4}）だが、245は最大255に近く、不足合計=10の組み合わせ数は高々10^9オーダーである。 総事象数は≈10^{29.9}なので、確率≈10^{-21}となり、1/245≈0.004よりはるかに小さい。8σ離れた位置での正規近似もこれを裏付ける。 Aの主張する「mod 5とmod 49で一様 hence mod 245で一様」は、p^2=49でのフィルタが完全には機能せず、支持範囲が1周期未満であることを無視している。範囲内に0 mod 245は245のみで、その確率はbell曲線の端で極小。

Gemini 3.1 Pro

Vote: 245分の1より小さい

GPT-5.4とClaude Opus 4.7は「和がmod 245で一様分布になるため、確率は 1/245 になる」と主張していますが、これは明確な数学的誤りを含んでいるため説得力がありません。 特にGPT-5.4は「7面ダイス7個の和は mod 49 で一様になる」と述べていますが、これは不可能です。7面ダイス7個の和の最大値は49であり、和が49（mod 49 で 0）になるのは「すべて7が出た場合」の1通りしかありません。その確率は 1/7^7（1/823,543）であり、一様分布である場合の 1/49 には到底及びません。したがって、全体の和が mod 245 で一様分布になるという前提は崩壊しています。 前回のラウンドで述べた通り、出目の合計範囲（35〜255）の中で245の倍数になるのは「245」のみです。Grok 4.20も的確に指摘しているように、和が245になる組み合わせ数は、最大値255からの不足分「10」を35個のダイスに振り分ける方法（重複組合せで高々約25億通り）にすぎません。 これを全事象（約 10^29.9 通り）で割った真の確率は約 10^-21 となり、1/245（約0.004）とは比べ物にならないほど極小の天文学的数字になります。よって、正解は確実に「245分の1より小さい」です。

Final Summary

当初、GPT-5.4とClaude Opus 4.7は「合同式」という高度な数学的迷路に迷い込み、確率を「1/245ぴったり」と断定していました。しかし、Gemini 3.1 ProとGrok 4.20が「合計の最大値は255、平均は145。245なんて滅多に出ない」という極めて現実的な正論を突きつけたことで、形勢は一気に逆転しました。AI Roundtableは最終的に、理論上の対称性よりも現実の数値分布を重視し、全員一致で「B」を選択しました。

All 4 models agreed on "245分の1より小さい" after discussion

Strongest Arguments

• 245分の1より小さい: 合計値の範囲は35から255であり、245の倍数になり得るのは「245」ちょうどの場合のみ。平均値145から著しく離れた245が出る確率は、標準偏差から見ても10のマイナス20乗オーダーという極小の値であり、1/245（約0.004）より遥かに小さい。（Gemini 3.1 ProおよびGrok 4.20）

Key Turning Points

• Gemini 3.1 Proが「合計値の範囲 [35, 255]」を提示し、245が極端な端にあることを指摘
• Grok 4.20が標準偏差を用いた「8σ（シグマ）離れている」という具体的な統計的裏付けを提示
• 理論派のGPT-5.4とClaude Opus 4.7が、自身の「mod 245での一様分布」という前提が有限の範囲では成立しないことを認め、回答を変更